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８．いろいろな微分の公式 〜商の微分part2〜
とうとう微分入門の最後のページです！ここでは分子にも変数がある場合を考えます。まずはじめに証明をします！（厳密ではないです。厳密なバージョンは余力があったら載せます。）分母にも分子にも変数があるわけですから、一般的に書くと
となります。これを微分するわけですが、ここで一工夫します。それは
とg(x)をおくことで、さきほどの式が
となり、積の微分の公式が適用できるのです。それにより
となります。h'(x)は先ほどの分子に変数がない場合の商の微分の公式により
ですから、それをさきほどの式に代入し、h(x)を元にもどすと
最後に通分すると
となり商の微分の公式が求まります！したがって
です。この公式を求めるのに積の微分と分子に変数のない商の微分の公式をつかいました。そのため、求まった公式もその二つの特徴が入っています。分母は、分母の式が二乗されたもの、分子は、『「分子の式を微分したもの」に「分母の式を掛け合わせたもの」』と『「分子の式」に「分母の式を微分しマイナスをつけたもの」を掛け合わせたもの』を足し合わせたものになっています。つまり分子は積の微分の公式ですが、片方が分母にあったために分母を微分したものにマイナスがついているのです。 覚えれたでしょうか？それでは、前のページで紹介した
を微分してみましょう！公式に当てはめると
となるのです！それでは例をいくつか載せておきます。
以上で微分入門の章を終わります。長い章だったのにここまでお付き合いくださり誠にありがとうございます♪あ、微分は使ったほうが覚えるので練習問題をpdfで貼り付けておきますね。もしも解答に間違いがあったらごめんなさい(^_^;)