微分入門

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7.いろいろな微分の公式 〜商の微分〜

この章では商の微分を学びます。次のような関数が微分できるようになるのです!



さて、このように分母に変数がある場合はどのように微分したらいいのでしょうか。分子にも変数がある場合をいきなりするのは大変なので、まず分子が定数の場合を考えましょう。たとえば



という関数を微分してみましょう。これも3段階で説明ができます。

第一段階 分母を二乗します。
右の数式の図をクリックしてください

第二段階 分母の式を微分します。
右の数式の図をクリックしてください

第三段階 分母の式を微分したものと分母を二乗したものを掛け合わせる。(上の数式の図を2回クリックしてください

これで完成です!(右上の数式の図をクリックしてください

それでは、例を少し載せますね。







商の微分の公式を一般的に書くと



です。では証明してみましょう!と、いってもここでは厳密な証明ではなく、chain ruleを用いて商の微分の公式を示します。(厳密な証明は気が向いたらします。)



ですから、chain ruleを用いると



となり、商の微分の公式が示されました。では最後に分子にも変数がある場合を考えましょう!次のページで。


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