微分入門

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3.微分を計算してみる

それじゃあ、具体的に微分係数を求めてみましょう。たとえば、についてにおけるを求めてみます。

まずがゼロに近づくときにがどの値に近づくのかを求めるのですから具体的な数字を代入してみよう。



気づきますか?値が4に近づいていっていますね。つまり



なのです。さらに勘の鋭い人は値に次の規則性があるということにも気づいているのではないでしょうか。



つまりそのままの部分と0に近づいていく部分に分かれているのです。よって



ということですね。でも、上記のように求めていくのは式が複雑になるにつれ困難です。そこでこのような式を求める計算方法があると都合が良いということになります。では、 つぎに、次のように微分係数の定義式を展開してみます。



(ちなみにこのときで、です。)



x=1のときだから



と求めることができます。

※この資料では視覚的にわかりやすいように



としていますが、数学の参考書で使われるのは



ですので誤用しないようお願いします。上記の式では



ですね。

ちなみに、どんな関数でも微分ができるというわけではありません。不連続だったり、ギザギザしている関数は微分不可能です。たとえば絶対値がついているxのx=0のところとか。全微分の章に少し関連したことが書いてあります。

また微分係数を表す記号として、などがあります。ちなみに、を日本人はなぜか「ワイダッシュ」と読みますが、本当は「ワイプライム」です。ダッシュはこの記号です。―

さて、式を計算でもとめられるようになりましたけど、先ほどのように定義式で行うのは、まだ面倒くさいですよね。もっと楽な計算方法があればいいのに・・・と思ったあなた!公式があります。


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