トップページ > 経済数学目次 > 指数・対数の微分入門 1 2 3
１．イントロダクション
ここでは前回の微分の話に続いて、logと指数関数の微分、そして最後によく使う微分の公式（前章での微分の公式１）の証明を行います。指数関数の微分は連続時間を扱う時に必要になります。対数の微分は、効用関数、生産関数においてよく対数表示が扱われるため必要になります。効用関数とか対数をとって単調変換したりもしますから。それでは、まず対数関数（log）の微分の証明から行いましょう。
２．対数の微分
対数関数を微分すると
となります。ただし、
です。それでは、これについて証明しましょう！「である調」でいきます！
（この上の式展開がわからない方は経済数学対数の計算へ。）ここで式の変形を理解しやすくするために
とおく。そこで二つことに留意する。
（一つ目はただの式変換、二つ目はｈが０に近づくならばｔも０に近づくという意味です。）
そこでさっきの対数の微分の式の続きに一つ目の式に代入すると
ここでｈが消えたので、二つ目の式よりlimをｈ→0からt→0に置き換える。よって
1/xはtに関係ないので、lim(1/x)=1/xである。問題はログの中にlimが入ることができるのか、ということであるが、これはlogが連続関数であるためにlimが中に入ることができるのである。（中級編で証明します。）したがって、
そして最後の問題として
はどのような値になるのか？ということがある。（）の中は１に近づくが、累乗は無限大になる。１なら何乗しても１だが、１より少しでも大きければ無限大の累乗によって発散してしまう。そこで具体的な数字をｔに入れて0に近づけていってみたいと思う。
だいたい2.71828…くらいの値になりそうだ。(きちんとした証明は中級編で行います。)これは無理数（分数で表せない数）で円周率が3.14159265358…と続いたようなものである。それでこの2.71828…＝eとおく。円周率が3.14159265358…＝πであるように。それで
となり、これで、対数の微分が完成する。
したがって
となる。また、対数の底の変換公式（わからない方はここへ）より底をeに変換すると
が得られる。また、a=eの特殊なとき
である。証明終了。
eはネイピア数と呼ばれ、経済学では他にも連続時間における「時間選好率」や「利子率」においてよくつかわれます。また、底がeの対数を「自然対数」とよびます。自然対数は微分後の形がきれいなので、底が１０である常用対数と同様によく使われます。経済学では常用対数よりも自然対数をよく用います。そしてよく使われるものは、省略されます。したがって、
とすることが多々あります。経済学では底が省略されているとき、どこかで断りがない限りeが底となっています。しかしこれでは常用対数と間違える場合があるので
と表記されることの方が多々あります。lnは自然対数（natural logarithm）の省略です。では次のページでは指数関数の微分、微分の公式１の証明を先に行い、その次のページで計算例をだします。