３．理論的理解
さて、さきほどまで直感的に理解してきましたが、全然厳密ではありませんでしたね。そこで、ここではいくつか証明を行います。
Aを定数として
（※）
が微分可能であることの必要十分条件であり、またAがf’(x)であることの証明。まずは十分性の証明。つまり、（※）ならばf(x)が微分可能である、の証明。
上の式を書き換えて
両辺に極限をとると
Aは定数であるから、Δｘの影響を受けない。したがって、
であるから、右辺のどちらの項も極限値を持っている。したがって、
である。
の値が存在するため、微分可能の定義よりf(x)は微分可能でありA＝f’(x)である。したがって、十分性が証明された。
次に必要性の証明。つまり、f(x)が微分可能であるならば（※）、の証明。
f(x)が微分可能であるならば
したがって、Aは定数であるから
とおくと、
の式を変形すると
両辺に極限をとると
よって、必要性が証明された。
全微分可能であるということの厳密な定義は、A、Bを定数として
です。
次に全微分可能であるならば偏微分可能であり、また、
であることを証明する。
今、Δy=0として、Δx→0とする。したがって、
式を書き換えて
(Δx,Δy)がどのように(0,0)に近づいても
であるから、もちろんΔy=0としてΔx→0としても成り立つ。つまり
となる。また、
である。（この命題の証明は省略）
したがって、
偏微分可能の定義より、上式の極限値がAと定数に収束したので偏微分可能であり
である。同様にしてΔx=0としてΔy→0とすれば
が証明できる。（証明略、時間があったらしてみてください。）
したがって、微分dfは
である。だが、x=x,y=yは常に成り立っているのでx=x,y=yを同様に全微分すると
であるから、
である。
以上で全微分の章をおわります。入門編にしては結構すごいこと書いちゃったなぁと思います。お疲れさまでした。