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３．陰関数はたくさんある！？かも
さて、陰関数が実は陰関数は何かがわかったところで、ひとつ問題があります。陰関数って沢山あるかもしれないんですよ。言い換えれば、関数Ｆが
というｘとｙの関係ｆは沢山つくることができてしまうのかもしれないのです。
よくある例が
です。この式は右の図のような半径を1とする円の方程式です。そうするとｘが決まるとｙが２箇所決まってしまいますよね？（右の図を３回クリックしてください。）式をｙについて解いても
となるわけですから、ｘが一つに決まっても
と
の二つが決まってしまいます。ｘが一か所決まったときにｙが２箇所決まる場合は「関数」ではありません。関数はｘが一か所決まったときにｙが１箇所に決まる必要性がありますから。
そこで、「じゃあｘが決まった時のｙの値が＋にします」というルールを決めれば
というxとyの関係（関数f）が右の図のように決まるのです。逆に、「ｘが決まった時のｙの値は−にします」というルールをきめれば
と、さきほどとは違うxとyの関係（関数fとは異なる関数g）決まります。（右の図をクリックしてください）
もっと自由度を上げて、
のときにｙは−、
のときにｙは＋、
のときにはｙは−と決めれば
という風にさらに異なるxとyの関係（関数fとも関数gとも異なる関数z）が決まります。（上の図をクリックしてください）したがって、
を満たすｘとｙの関係（陰関数）はいくらでも作り上げることが可能なのです。しかもが連続微分可能（微分可能でかつ微分した関数（1階の導関数）が連続である）でも陰関数が連続じゃない場合がありうるわけです。となると、少し困りましたね。関数が唯一に決まった方が、いろいろと便利ですし（無差別曲線が何本も見つかると不便ですし）、陰関数が微分可能じゃないと無差別曲線のＭＲＳが導き出せないじゃないですか。さっきはyが＋か-かということで関数を唯一に絞ってみましたけど、違う方程式ではyが＋のときにも関数が二つ以上決まる場合（たとえばさきほどの円の方程式をｙ軸方向に１ずらすとか）だってあるでしょうから、先ほどの方法は陰関数を唯一みつける万能の方法ではありません。じゃあ、陰関数が唯一にきまり、陰関数が微分可能になる方法（つまりどんな連続微分可能な効用関数でも連続微分可能な無差別曲線を唯一に見つけられる方法）を考えましょう。