ぴーすけ講座　支出最小化問題

3.シェファードの補題　Shephard's lemma

さて、ここでシェファードの補題を紹介しておきましょう。これは、支出関数を価格で微分すると、補償需要関数が求まるというものです！財ｘの価格ｐｘで支出関数を微分すれば、財ｘの補償需要関数が求まりますし、財ｙの価格ｐｙで微分すれば、財ｙの補償需要関数が求まるのです。この補題は財の数を２財からｎ財まで増やしても成り立つ補題です。式で表すと

$\frac{{\partial e\left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)}}{{\partial p_x }} = h_x \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)$

$\frac{{\partial e\left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)}}{{\partial p_y }} = h_y \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)$

ということです。先ほど求めた、コブ＝ダグラス型効用関数で試してみましょう！

$e\left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right) = 2\sqrt {p_x p_y \bar u} = 2\sqrt {p_y \bar u} \times \sqrt {p_x }$

ですから、

$\frac{{\partial e\left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)}}{{\partial p_x }} = 2\sqrt {p_y \bar u} \times \frac{1}{{2\sqrt {p_x } }} = \sqrt {\frac{{p_y \bar u}}{{p_x }}} = h_x \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)$

となりますね。ｙ財について試してみても同じように求まります！証明をしてみましょう。

支出関数は、補償需要関数を用いると

$e\left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right) = p_x h_x \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right) + p_y h_y \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)$

となりますね。これをｐｘで微分してみましょう。そうすると

$\frac{{\partial e\left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)}}{{\partial p_x }} = h_x \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right) + p_x \frac{{\partial h_x \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)}}{{\partial p_x }} + p_y \frac{{\partial h_y \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)}}{{\partial p_x }}$

となります。

第一項は、財ｘの価格が上昇したために、買っていた財ｘの数量分の支出が増加した分。（たとえば、１０円のチョコを５個買うときの支出は５０円。１０円のチョコが１１円に値上がりすると、支出は５５円。増える支出額はチョコ５個分×１円で５円。購入していた数量が支出の増加分になっている。）

第二項は、財ｘの価格が上昇したために、財ｘの需要量を減らし、支出が減った分。

第三項は、財ｘの価格が上昇したために、財ｙの需要量が変動し、支出が変動した分。（財ｙが増えるか減るかは、財ｘの代替財か、補完財かによる。２財しかないモデルでは、財ｘの価格の上昇は、必ず財ｙの需要量を上昇させる。つまり、代替財。）

したがって、示せばいいことは、

$p_x \frac{{\partial h_x \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)}}{{\partial p_x }} + p_y \frac{{\partial h_y \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)}}{{\partial p_x }} = 0$

ということ。つまり、財ｘの価格が上昇したために、「財ｘの需要量を減らしたことによって、減らした支出額」が、「財ｙを増やしたことによって、増加した支出額」と等しいことを示せばいいということです。

さて、これを示すためには、支出関数は支出最小化問題を解くことによって得られたことを思い出さなければいけません。支出最小化問題は、

min　 $p_x x + p_y y$

s.t. 　 $u\left( {x,y} \right) \ge \bar u$

ですから、ラグランジェ関数を用いて１階の条件を導出しましょう。支出関数は支出最小化問題を解くことによって得られたってことは、この１階の条件を満たしてなければいけないのですから。

$\frac{{\partial L}}{{\partial x }} = p_x - \lambda \frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}} = 0$

$\frac{{\partial L}}{{\partial y }} = p_y - \lambda \frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}} = 0$

です。したがって、

$p_x = \lambda \frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}$

$p_y = \lambda \frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}}$

です。これを

$p_x \frac{{\partial h_x \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)}}{{\partial p_x }} + p_y \frac{{\partial h_y \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)}}{{\partial p_x }}$

に代入すると、

$\lambda \frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}\frac{{\partial h_x \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)}}{{\partial p_x }} + \lambda \frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}}\frac{{\partial h_y \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)}}{{\partial p_x }}$

$= \lambda \left( {\frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}\frac{{\partial h_x \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)}}{{\partial p_x }} + \frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}}\frac{{\partial h_y \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)}}{{\partial p_x }}} \right)$

となります。もちろん、λ＞０ですから、示したいのは、

$\frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}\frac{{\partial h_x \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)}}{{\partial p_x }} + \frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}}\frac{{\partial h_y \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)}}{{\partial p_x }} = 0$

ということです。上の式には、効用関数と補償需要関数がでてきていますから、この二つの関係を考えてみましょう。補償需要関数は効用 $\bar u$ を達成するために必要な需要量でしたね。したがって、財ｘを $h_x \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)$ 個、財ｙを $h_y \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)$ 個消費したときの効用はいくらでしょうか？そりゃあ、 $\bar u$ ですよね（笑）定義が、そうなんですから。したがって、

$u\left( {h_x \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right),h_y \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)} \right) = \bar u$

が成り立ちます。（この式は、３つめの１階の条件の式でもありますね。）もちろん、 $\bar u$ は達成したい効用水準ですから、価格とは無関係です。したがって、この等式を価格ｐｘで微分すると

$\frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial h_x }}\frac{{\partial h_x \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)}}{{\partial p_x }} + \frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial h_y }}\frac{{\partial h_y \left( {p_x ,p_y ,\bar u} \right)}}{{\partial p_x }} = 0$

です。ところで、

$x = h_x ,y = h_y$

ですから、

が得られましたね。これで、シェファードの補題の証明完了です！

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