ぴーすけ講座　ＣＥＳ関数について

（３）

両辺に対数をとると

$%\ln y\left( {x_1 ,x_2 } \right) = \ln \left( {\alpha _1 x_1^\rho + \alpha _2 x_2^\rho } \right)^{\frac{1}{\rho }} = \frac{{\ln \left( {\alpha _1 x_1^\rho + \alpha _2 x_2^\rho } \right)}}{\rho }$

である。このときとすると

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{\rho \to - \infty } \ln y\left( {x_1 ,x_2 } \right) = \mathop {\lim }\limits_{\rho \to - \infty } \frac{{\ln \left( {\alpha _1 x_1^\rho + \alpha _2 x_2^\rho } \right)}}{\rho } \\ \\ \mathop {\lim }\limits_{\rho \to - \infty } \rho = - \infty \\ \\ \mathop {\lim }\limits_{\rho \to - \infty } \left( {\ln \left( {\alpha _1 x_1^\rho + \alpha _2 x_2^\rho } \right)} \right) = \ln \left( {\alpha _1 \cdot 0 + \alpha _2 \cdot 0} \right) = \ln 0 = - \infty \\ \end{array}$

となり、において不定形である。また、分子、分母のそれぞれの関数が連続微分可能であるのでロピタル・ルールが適用できる。したがって

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{\rho \to - \infty } y\left( {x_1 ,x_2 } \right) = \mathop {\lim }\limits_{\rho \to - \infty } \frac{{\ln \left( {\alpha _1 x_1^\rho + \alpha _2 x_2^\rho } \right)}}{\rho } = \mathop {\lim }\limits_{\rho \to - \infty } \frac{{\frac{{\alpha _1 x_1^\rho \ln x_1 + \alpha _2 x_2^\rho \ln x_2 }}{{\alpha _1 x_1^\rho + \alpha _2 x_2^\rho }}}}{1} \\ = \mathop {\lim }\limits_{\rho \to - \infty } \frac{{\alpha _1 x_1^\rho \ln x_1 + \alpha _2 x_2^\rho \ln x_2 }}{{\alpha _1 x_1^\rho + \alpha _2 x_2^\rho }} \\ \end{array}$

(i)　のとき、

$\frac{{\left( {\frac{1}{{x_1 }}} \right)^\rho }}{{\left( {\frac{1}{{x_1 }}} \right)^\rho }}( = 1)$

をかけると

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{\rho \to - \infty } \frac{{\alpha _1 x_1^\rho \ln x_1 + \alpha _2 x_2^\rho \ln x_2 }}{{\alpha _1 x_1^\rho + \alpha _2 x_2^\rho }} = \mathop {\lim }\limits_{\rho \to - \infty } \left( {\frac{{\alpha _1 x_1^\rho \ln x_1 + \alpha _2 x_2^\rho \ln x_2 }}{{\alpha _1 x_1^\rho + \alpha _2 x_2^\rho }} \times \frac{{\left( {\frac{1}{{x_1 }}} \right)^\rho }}{{\left( {\frac{1}{{x_1 }}} \right)^\rho }}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\rho \to - \infty } \frac{{\alpha _1 \ln x_1 + \alpha _2 \left( {\frac{{x_2 }}{{x_1 }}} \right)^\rho \ln x_2 }}{{\alpha _1 + \alpha _2 \left( {\frac{{x_2 }}{{x_1 }}} \right)^\rho }} \\ = \frac{{\alpha _1 \ln x_1 + \alpha _2 \cdot 0 \cdot \ln x_2 }}{{\alpha _1 + \alpha _2 \cdot 0}} = \frac{{\alpha _1 \ln x_1 }}{{\alpha _1 }} = \ln x_1 \\ \end{array}$

両辺に自然対数をとることは単調変換であるから、