トップページ > 経済数学目次 > 多変数関数と偏微分 1 2 3
４．二階偏微分
さて、微分入門で２階微分ということを学びました。yの２階微分係数はyをｘについて2回微分すると得られました。それは
ということですから、
と表記しますし、
とも表記しました。では、２階の偏微分係数も同様にしたいところです。ですが、２変数関数の場合、２階の偏微分が全てで４つあるのです。といのも、２階の２変数の偏微分係数の場合、１階の偏微分係数はｘとｙについての２種類が存在しました。つまり２階の偏微分係数も、ｘについての偏微分係数に対して、更にｘについての偏微分係数、ｙについての偏微分係数が存在しますし、ｙについての１階の偏微分係数についても同様に二つ存在します。だから、２変数の偏微分係数の場合、２階の偏微分係数は全部で４つあることになります。つまり
ならば
と
があるわけです。そこで表記方法も
他にも
と表記することになります。後者の表記方法は
他にも
という方法があります。ｙについても同じで
ということになります。注意してほしいのはｘで偏微分した後にｙで偏微分すると分母のの書き方が
となっていることです。右側にある方が先に偏微分したということになります。なぜかというと、
この式を良く見ると、これはｚをｘで偏微分したものを、更にｙで偏微分するという意味になっています。分子のパーシャルが左からついているのに、分母の∂ｙが右からつくというわけにはいきません。なぜならば分子のパーシャルと分母の∂ｙがペアだからです。（たまに逆のことを言う人もいますが、ここではこう表記します。）それに代わって、略記している表記の方ではｘで偏微分した後にｙで偏微分した場合、記号の右下に小さくｘｙと書きます。こちらは偏微分した順番通りに左から書きます。尚、３階偏微分係数以降も同様になりますし、同様に書き表します。
さて、実際に
２階偏微分をしてみましょう。
ですから
となります。尚、
が一致したのは偶然ではありません。f(x,y)が２階連続微分可能ならば
となります。これはヤングの定理といいます。証明は中級編で行います。
最後に、偏微分に関しては、１変数の微分で成り立った微分5公式は全て使えます。証明はしません！偏微分は計算してみる方が身につくと思うので、例を一つと、問題集を下につけておきますね。
次の関数を偏微分します。２階まで求めます。
練習問題（PDF）です。よろしかったら活用してください★もしも解答に間違いがあったらメールくださるとうれしいです！めっちゃ嬉しいです！
以上で偏微分の章を終わります。